Estrategias de Resolución de Problemas: junio 2017

viernes, 30 de junio de 2017

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Todo estudiante, no importa si esta en primaria o en el último año de un doctorado, siempre se encontrará con una gigante complejidad al encontrarse con problemas ya sea matemáticos o de cualquier otra índole.

Se destacará a lo largo de este blog, que la resolución de problemas en un proceso difícil sino se toman en cuenta muchos aspectos claves, y que al tener nociones mas claras, será algo muy facil además de divertido.

Asi, en la enseñanza de matemáticas a veces se descuida el trabajo de estrategias más generales de resolución de problemas y como utilizar el conocimiento matemático aprendido en el contexto escolar ccomo una herramienta para resolver situaciónes problema de la vida cotidiana. Como resultado de este proceso de enseñanza, divversos estudios muestran, por una parte, las enormes dificultades que presentan los alumnos en el aprendizaje de los contenidos matemáticos y el fracaso escolar en esta área curricular. Por otra parte, problemas no son utilizados por los alumnos para resolver problemas de la vida cotidiana. (Pifarré, 2004)

Por lo tanto, se aportará el marco teórico necesario para el diseño y la implementación de ejemplos y material interactivo para facilitar una comprensión completa y así tener una mejor certeza de tener resultados eficaces en los temas seleccionados.

Los contenidos son:

Se espera que este contenido sea de calidad y de la mejor ayuda al lector, si te gusta comenta y haznos saber si estamos haciendo un buen trabajo, asi subiremos aun mas contenido.

No te frustres por los problemas que se te presentan en la vida, para todo hay solución, y aqui te enseñaremos a encontrarla.

Fuentes Bibliográficas

Pifarré, M. (2004). EL ORDENADOR Y EL APRENDIZAJE DE LAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Universitat de Lleida. España

Proposiciones

TABLAS DE VERDAD Y CONECTIVOS LÓGICOS

PROPOSICIÓN

Las proposiciones son las expresiones que pueden contener tanto afirmaciones o negaciones, cuyo contenido se puede calificar como verdadero o falso.

Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas y para eso se le establece un valor de verdad, y eso hace que se le dé una interpretación a la proposición. Por eso es común asignar valores de verdad a los enunciados.

Existen enunciados que no son proposiciones, por lo mismo es que no se pueden evaluar como verdaderas o falsas ya que el objetivo de dichos enunciados no es especificar hechos, y es aquí donde entrar las exclamativas, interrogativas y las negaciones.

Símbolos

Existen símbolos tanto para los enunciados como para las proposiciones.

Los símbolos de enunciados simples se representan con letras minúsculas del alfabeto y se hacen más con las consonantes como estas: q, r, s, t.....

Por eso es normal identificar de una forma inmediata estas letras y asociarlas con enunciados, por lo mismo a estas letras se les denomina como variables enunciativas o letras enunciativas, porque sus valores son preposiciones.

También existe la simbología de los conectivos que son los siguientes:

Lectura	Símbolo
Y	V
O	^
Si, entonces	à
Si y solo si	ßà
No	~

Para realizar las proposiciones existen dos clases que son enunciados atómicos y moleculares; se les conoce como atómicos a aquellos enunciados simples y estos se identifican cuando no tienen un conectivo. Son enunciados molecular cuando este interviene uno o más conectivos.

Pero no solo estos son los símbolos que se utilizan, si no también se utilizan signos de agrupación, los cuales ayudan a separar un enunciado de otro, los signos de agrupación que se utiliza son:

( ) [ ] { }

Paréntesis Corchetes Llaves

TABLAS DE VERDAD

Estas tablas tienen muchas importancia en la lógica proposicional, porque esto es un instrumento que ayuda a comprobar la validez de los argumentos qu
e dicha lógica maneja.

Los valores de verdad son los valores que tienen los enunciados los cuales pueden ser verdaderos o falsos pero nunca pueden ser ambas cosas.

Ejemplo:

*María duerme en la tarde.

*María no duerme en la tarde.

En el ejemplo anterior se puede reflejar que estos enunciados solo pueden tener un valor de verdad sea falso o verdadero los cuales se representan con esta forma "V" si es verdadero y "F" si es falso.

CONECTIVOS LÓGICOS.

Los conectivos lógicos a la hora de ser operadores permiten combinar proposiciones para poder formar otras proposiciones. Estos operadores permiten la unión de enunciados o proposiciones los cuales se llaman operadores binarios. Las proposiciones compuestas tienen mucha capacidad de expresión dentro de la lógica, para realizar estos conectivos hay que aplicar la siguiente tabla: (Torres & Augusto, 2010)

1. Conjunción (∧)

La conjunción se identifica verdadera cuando los dos enunciados sean verdaderos y los demás casos se vuelven falsos. Su símbolo ∧ se lee como "y".

2. Disyunción (V)

La disyunción se identifica verdadera casi en todos los enunciados menos cuando los dos enunciados sean falsos. Su símbolo V se lee como ó.

3. Condicional ( →)

La condicional se identifica verdadera casi en todos los enunciados menos cuando un enunciado es verdadero y el otro falso. Su símbolo → se lee como si, entonces.

4. Bicondicional ( ↔)

La bicondicional se identifica verdadera cuando los dos enunciados sean tanto como" V" o "F" de lo contrario serán falsos. Su símbolo ↔ se lee si y solo si.

5. Negación ( ~ )

La negación afecta en un solo enunciado, para que un enunciado sea verdadero debe afectar a uno que sea falso y viceversa. Su símbolo ~ se lee como no.

LEYES DE MORGAN

Las leyes de Morgan son pautas que nos riven de guía para que de tal forma que se pueda resolver una operación con valor de verdad eficaz, pero a la misma vez al plantearlo cuando queremos verbalizarlo surgirian oraciones sin sentido lógico, por lo tanto debemos aprender como negar las preposiciones pero de tal forma que nos proporciónen el valor de verdad cierto, y a la vez al verbalizarlas podamos leerlo de una forma coherente. Las leyes las resolveremos mediante este ejemplo:

Supongamos que tenemos:

P=F P= Esta lloviendo.

Q=V Q= Hace frío.

PARA LA CONJUNCIÓN:

Supongamos que tenemos esta negación ~(p^q). Al operarlo se realizaría de la siguiente manera:

~(F^V)

~(F)

Pero si intentáramos verbalizar esta frase, no tendríamos idea de como hacerla, por lo tanto dice la ley de Morgan que se debe negar todas las proposiciones y el conectivo lógico de conjunción pasaría a ser disyunción, por lo tanto convertiríamos la proposición original a:

~P v ~Q

Al operarlo con los mismos valores se realizaría de la siguiente manera:

~F v ~V

V v F

Si nos damos cuenta el valor de verdad es el mismo, con la diferencia que al planteamiento de este se podría verbalizar y quedaría. "NO ESTA LLOVIENDO O NO HACE FRÍO", mientras que el anterior no podría verbalizarse por la forma que tiene.

PARA LA DISYUNCIÓN:

Supongamos que tenemos esta negación ~(pvq). Al operarlo se realizaría de la siguiente manera:

~(FvV)

~(V)

Pero si intentáramos verbalizar esta frase, no tendríamos idea de como hacerla, por lo tanto dice la ley de Morgan que se debe negar todas las proposiciones y el conectivo lógico de disyunción pasa a ser conjunción, por lo tanto convertiríamos la proposición original a:

~P ^ ~Q

Al operarlo con los mismos valores se realizaría de la siguiente manera:

~F ^ ~V

V ^ F

Si nos damos cuenta el valor de verdad es el mismo, con la diferencia que al planteamiento de este se podría verbalizar y quedaría. "NO ESTA LLOVIENDO Y NO HACE FRÍO", mientras que el anterior no podría verbalizarse por la forma que tiene.

PARA LA IMPLICACIÓN:

Supongamos que tenemos esta negación ~(p->q). Al operarlo se realizaría de la siguiente manera:

~(F->V)

~(V)

F

Pero si intentáramos verbalizar esta frase, no tendríamos idea de como hacerla, por lo tanto dice la ley de Morgan que se debe negar la segunda proposición y el conectivo lógico de implicación pasa a ser disyunción, por lo tanto convertiríamos la proposición original a:

P v ~Q

Al operarlo con los mismos valores se realizaría de la siguiente manera:

F v ~V
F v F
F

Si nos damos cuenta el valor de verdad es el mismo, con la diferencia que al planteamiento de este se podría verbalizar y quedaría. "ESTA LLOVIENDO O NO HACE FRÍO", mientras que el anterior no podría verbalizarse por la forma que tiene.

PARA LA DOBLE IMPLICACIÓN:

Supongamos que tenemos esta negación ~(p<->q). Al operarlo se realizaría de la siguiente manera:

~(p<->q)
~(F<->V)
~(F)
V

Pero si intentáramos verbalizar esta frase, no tendríamos idea de como hacerla, por lo tanto dice la ley de Morgan que se debe colocar la preposición original pero en vez de doble implicación, se coloca disyunción, luego encerrar entre paréntesis, colocar una conjunción, luego colocar otro parentesis en el cuál se cambiaran de lugar la primera y la segunda, además se negaría la segunda preposicion, cambiaria de la siguiente manera:

(P v Q) ^ (Q v ~P)

Al operarlo con los mismos valores se realizaría de la siguiente manera:

(F v V) ^ (V v ~F)
(F v V) ^ (V v V)
V ^ V
V

Si nos damos cuenta el valor de verdad es el mismo, con la diferencia que al planteamiento de este se podría verbalizar y quedaría. "ESTA LLOVIENDO O HACE FRÍO Y HACE FRÍO O ESTA LLOVIENDO", mientras que el anterior no podría verbalizarse por la forma que tiene.

Acá se dejará un ejercicio para practicar y verificar si el contenido fue aprendido o se necesita reforzar algún área en específico.

EJERCICIO

Conectivos Lógicos

CONCLUSIÓN

El uso de la lógica proposicional, al realizarse como es debido, nos dará la capacidad de verificar el valor de verdad de una oración, nos puede ser muy útiles para verificar frases, entre otros, además de ejercitar nuestra mente al hacernos razonar a un grado más aya de lo común.

BIBLIOGRAFÍA

Calderón, P. C. (2014). Compendio de Lógica. Grupo Editorial Patria.

Torres, C., & Augusto, S. (2010). Lógica matemática para ingeniería de sistemas y computación . Ediciones Elizcom.

↭ Meliza Verónica Lucas Hidalgo ↭

jueves, 29 de junio de 2017

"Método Polya " Para resolver Cualquier Problema

Método Pólya

Miller (2006) comenta que el 13 de diciembre de 1887 en Hungría nació un científico matemático llamado George Pólya. Estudió en la Universidad de Budapest; donde abordó temas de probabilidad. Luego en 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942 como maestro. Elaboró tres libros y más de 256 documentos, donde indicaba que para entender algo se tiene que comprender el problema.

Macario (2006) describe que este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos.

Para resolver un ejercicio, se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, se hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que se ejecute pasos originales antes para dar la respuesta.

George Pólya presentó en su libro Cómo plantear y resolver problemas (en inglés, How to solve it) un método de 4 pasos para resolver problemas matemáticos. Dicho método fue adaptado para resolver problemas de programación, por Simón Thompson en How to program it.

Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas.

Algo muy interesante es que George Pólya debo 10 reglas muy importantes que son las siguientes:

1. Interésese en su materia.

2. Conozca su materia.

3. Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.

4. Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.

5. Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.

6. Permítales aprender a conjeturar.

7. Permítales aprender a comprobar.

8. Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.

9. No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.

10. Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

En las siguientes secciones mostramos los 4 pasos de ambos métodos, junto con sus correspondientes preguntas.

Los 4 Pasos son los siguientes:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan.

3. Ejecutar el plan.

4. Mirar hacia atrás.

Método Polya en sus Cuatro Pasos:

Está enfocado a la resolución de los problemas matemáticos que se presentan continuamente, pero existen una diferencia entre ejercicio y problema, un ejercicio es el proceso por el cual uno aplica un procedimiento rutinario; mientras que en un problema, uno analiza, reflexiona hasta que pueda deducir con la mayor exactitud una respuesta correcta.

Ejemplo Popular:

Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 6 + 4. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 108 lapiceros entre 12 niñas de modo que a cada uno le toque la misma cantidad?, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir 108 ÷ 12", que el resultado claramente seria:

R// Le corresponden 9 lapiceros a cada niñas.

Es por ello que mostraremos un resumen sobre los pasos del Método Pólya del Libro:

"Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (está editado por Trillas).

Paso 1: Entender el Problema.

• ¿Entiendes todo lo que dice?

• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

• ¿Distingues cuáles son los datos?

• ¿Sabes a qué quieres llegar?

• ¿Hay suficiente información?

• ¿Hay información extraña?

• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.

• ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

2. Usar una variable.

3. Buscar un Patrón

4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple.

6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo.

9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los números.

11. Resolver un problema equivalente.

12. Trabajar hacia atrás.

13. Usar casos

14. Resolver una ecuación

15. Buscar una fórmula.

16. Hacer una simulación

17. Usar un modelo.

18. Usar análisis dimensional.

19. Identificar sub-metas.

20. Usar coordenadas.

21. Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.

• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.

• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

• ¿Adviertes una solución más sencilla?

• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Hernández y Villalba. 1994.

Ejemplo

Juan está leyendo un libro de 498 páginas. En lunes leyó 120 páginas en martes leyó 54 páginas más. El miércoles solo alcanzo a leer 25 páginas más.

¿Cuántas Páginas del libro ha leído Juan?

1. Comprender el Problema:

¿Qué es lo que sé sobre el tema? ¿Cuáles son los datos? ¿Qué datos me sirven/ cuáles no me sirven? ¿Qué me Preguntan/ o qué es lo que no sé?

2. Concebir un plan

¿Te has encontrado con algún problema semejante? ¿Conoces alguna operación que permita llegar a la solución? ¿Conoces algún problema relacionado con este?

120+54+25= ?

498= ______=_______ = ?

1. Ejecución de un Plan:

Al ejecutar el plan de solución, se comprueba cada uno de los pasos. ¿Puedes ver cada uno de los pasos son correctos? ¿Puedes demostrarlos?

1. Examinar la solución Obtenida:

¿Puedes comprobar el resultado? ¿Puedes obtener el resultado de forma diferente? ¿Puedes emplear la estrategia o método en algún otro tipo de problemas?

120 + 199

Respuesta: Juan ha leído 199 páginas

Conclusión

Los problemas que se presenten, no importa sus condiciones, todos tienen solución, algo clave que se tiene que tener en mente es que, una gran opción a tomar en cuenta es el Método Polya, debido a que está técnica nos permite despejar todo lo que se nos propone, para luego tener nociones claras y tomar la mejor estrategia y la resolución del problema sea eficiente y eficaz.

Ejercicio

Método Polya

Bibliografía

1. Falconi, P., López, M. y Thielemann, M. (2010): Estrategias de Cálculo y Resolución de Problemas. Ediciones SM. Santiago: Chile.

2. Martínez, J. (2002): Enseñar matemáticas a alumnos con necesidades especiales. Ediciones Praxis, Barcelona: España.

3. Riveros, M, et al (2000): Habilidades de pensamiento metacognitivo y resolución de problemas matemáticos. Boletín de Investigación Educacional, 15 (1), Pp. 89-107. Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago, Chile.

4. Villalobos, X. (2008): Resolución de problemas matemáticos: un cambio epistemológico con resultados metodológicos. Revista REICE, 6 (3). Madrid: España.

5. Sandoval, M. (2012). La resolución de problemas matemáticos. Exposición presenta da en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Programas de Magister. Santiago: Chile.

6. Weng Kin, H. (2008). Problem Solving at Tertiary Level. Institute of Nanyang Technological University. Singapore

miércoles, 28 de junio de 2017

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos los cuales tienen una característica en común, nombrados para facilitar su distinción entre dos o más conjuntos.

Entre las décadas de los 60 y los 80 del siglo pasado, los conjuntos tuvieron un gran protagonismo en la educación pre-universitaria. La verdad es que, más allá de una indudabla ayuda para poder facilitar la expresión de los conceptos en forma comapcta, porque no hay ningua rama matemática en donde la teoría de conjuntos sea imprenscidible para el desarrollo de la mismas.

La teoría de conjuntos es una maravilosa y profunda rama de la matemática que lo que busca es proporcionar una base lógicamente sólida en la cual se pueda fundar esta disciplina. en la mayoria de empresas de empresas intelectaules, con el transcurso de los años la teoría de cojuntos desarrolló temas y planteó problemas propios que no están direcatamente relacionados con el proyecto fundacional.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Para realizar las operaciones con conjuntos se debe determinar la intersección, unión, diferencia, diferencia simétrica y complementes de conjunto, estos son ejemplos de operaciones que hay en los conjuntos. Para esto se debe realizar una operación y esto es una regla o procedimiento mediantes el cual uno o mas objetos son utilizados para obtener otro objeto. Los objetos que son involucrados en las operaciones normalmente son números o conjuntos.

UNION:

Se utiliza cuando dos o más conjuntos se unen entre si, colocando enmedio los elementos iguales entre ambos conjuntos, para luego ashurarlo todo porque la union eso significa, que todos los conjuntos se uniran.

INTERSECCIÓN:

Se utiliza cuando dos o más conjuntos se separan entre si dejando unicamente ashurado los elementos que tienen en comun, porque este dato es útil y es lo que se necesita cuando se desea operar la intersección.

DIFERENCIA:

En esta operacion se notan diferencias distintas a las anteriores debido a que como se planteen, asi sera la respuesta, ya que la diferencia significa lo que tiene uno de diferente al primero, por lo tanto si se planteara A-B, se ashuraria el conjunto B, y viceversa, por lo tanto se debe tener una buena interpretación.

DIFERENCIA SIMETRICA:

Es muy parecida a la diferencia, solo con una característica que es que se ashuran lo que tienen de distinto los dos conjuntos, y se deja sin ashurar lo que tienen en común, esto más es para resaltar las diferencias de los dos, sin centrarse en uno específico, esto es útil en el momento de ver lo que tiene cada uno.

COMPLEMENTO:

Representa los datos que no son tomados en cuenta durante la operacion de los conjuntos pero que si son importantes porque tienen que ver con el tema.

USO DE CONJUNTOS EN LA TOMA DE DECISIONES:

Los conjuntos representados en el diagrama de Venn, aunque resulte difícil de creer, son la mejor herramienta cuando representan tendencias entre 2 o más aspectos, debido a que no solamente muestra información de uno o de otro, sino que también representa gustos de 2 o hasta 3 opciones a la vez, mostrando información clara y hasta puede detectar mentiras entre grupos de personas, usandolo junto con el complemento (visto en las operaciones entre conjuntos) se puede representar hasta las personas que no desean ninguna de las opciones.

A continuación se hará un ejemplo para demostrar como se grafica en Diagrama de Venn y qué podemos captar de dicha información:

Se encuestan a 22 alumnos sobre cuales sus cursos favoritos de idiomas y los resultados fueron:

1. 12 prefieren alemán.

2. 10 prefieren inglés.

3. 9 prefieren francés.

4. 6 prefieren alemán e inglés.

5. 5 prefieren alemán y francés.

6. 2 prefieren los 3 idiomas

Con los datos mencionados y operando el Diagrama de Venn responderemos las siguientes preguntas:

1. ¿Cuantos prefieren solo inglés?

2. ¿Cuantos prefieren al menos 2 idiomas?

3. ¿Cuantos no prefieren ninguno?

4. ¿Cuantos prefieren solo 1 idioma?

PASO NO. 1

Formaremos nuestro universo, quien es la totalidad de personas que entrevistamos para tener una noción de cual es el resultado con el que nos tiene que cuadrar la sumatoria de todo. Ademas se dehe establecer los segmentos con círculos formando un conjunto de esta manera. (en U, pondremos la cantidad total de sujetos)

PASO NO. 2

Para que los resultados nos salgan con veracidad, debemos empezar a rellenar desde el centro, es decir donde se interactuan los 3 conjuntos, es decir, en nuestro ejemplo empezaríamos por una pregunta la cual seria, "¿QUIENES TOMAN AL MENOS 3?", o "¿QUIENES PREFIEREN LOS 3 IDIOMAS?, debido que este dato central tiene relación con todos los conjuntos, por lo tanto es el que debe iniciar todo. Según los datos proporcionados hay 2 que prefieren los 3 cursos. El gráfico quedaría así:

PASO NO. 3

Continuamos con los datos que siguen, es decir, los conjuntos que interactuan entre 2, por lo tanto sabemos que 6 prefieren alemán e inglés, pero como en el gráfico tenemos que a 2 personas les gustan los 3 cursos, por lo tanto se efectuaría una resta y quedarían 4 entre alemán e inglés. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 4

Así mismo como hicimos en el paso 3, efectuaremos de la misma manera con el siguiente dato que son 5 que prefieren alemán y francés, y así como efectuamos la resta de 2 datos que tuvimos en el centro, en el espacio entre alemán y francés colocaríamos 3. En el espacio entre inglés y francés quedaría con un número 0, debido a que no habían estudiantes que prefirieran solamente esos dos cursos. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 5

Ahora proseguiremos con los datos que nos indican 1 solo conjunto a la vez, iniciaremos con los estudiantes de francés que tenemos como datos 9, pero de tal forma que en pasos anteriores, le restaremos los datos que se encuentren en su mismo circulo, es decir, le restaremos el central que son 2 datos, también le restaremos los 3 que están entre alemán y francés, y como entre inglés y francés no hay datos entonces no habrá que restarle (pero en caso contrario que hubiera datos habría que restarle), el total de francés logrando las restas sería 4. El gráfico sería así:

PASO NO. 6

Realizaremos el mismo procedimiento con los otros dos conjuntos que tenemos y tendremos como resultado en alemán 3, y en ingles 4. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 7

Como paso final nos damos cuenta que la suma de los datos entre los conjuntos nos da 20 y se nos dice que 22 alumnos fueron entrevistados, por lo tanto se puede comprender que a 2 estudiantes no tiene simpatía por ninguno de los 3 cursos, por lo consiguiente procederemos a ponerlo afuera de los conjuntos que es nuestro conjunto complemento, el gráfico terminado quedaría así:

PASO NO. 8

Responderemos las preguntas que se nos plantearon:

¿Cuantos prefieren solo inglés?.... 4 alumnos.
¿Cuantos prefieren al menos 2 idiomas?... 9 alumnos.
¿Cuantos no prefieren ningún idioma?... 1 alumno.
¿Cuantos prefieren solo 1 idioma?... 11 alumnos.

Si nos podemos dar cuenta al sumar cada circulo tendremos como resultado el total de cada idioma expresado al principio, es una prueba para verificar que el resultado es correcto.

Como podemos darnos cuenta, estos gráficos pueden darnos respuestas a las que gráficos comunes no podrían hacerlo a la vez.

Para mejorar el aprendizaje aquí dejo un ejercicio el cuál podrás revisar para asegurarte de que el contenido fue captado al 100% o si necesitas volver a revisar una parte débil.

Teoría de Conjuntos

CONCLUSIÓN

Los conjuntos son una excelente herramienta para deducir muchas cosas cuando hablamos de toma de decisiones es muy importante ya que nos permite identificar todos los datos y ver claramente las preferenciasde todo tipo de sujetos de quienes entrevistamos.

BIBLIOGRAFIA

Renato, L. (2010) LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA. Editorial J.C. Sáez. Chile.

Miller, C., Heeren, V. & Hornsby John. (2008) . ESTRATEGIAS DE RAZONAMIENTO. Editorial Pearson. México