Teoría de Conjuntos

        

Un conjunto es una colección de objetos los cuales tienen una característica en común, nombrados para facilitar su distinción entre dos o más conjuntos.

          Entre las décadas de los 60 y los 80 del siglo pasado, los conjuntos tuvieron un gran protagonismo en la educación pre-universitaria. La verdad es que, más allá de una indudabla ayuda para poder facilitar la expresión de los conceptos en forma comapcta, porque no hay ningua rama matemática en donde la teoría de conjuntos sea imprenscidible para el desarrollo de la mismas. 

La teoría de conjuntos es una maravilosa y profunda rama de la matemática que lo que busca es proporcionar una base lógicamente sólida en la cual se pueda fundar esta disciplina. en la mayoria de empresas de empresas intelectaules, con el transcurso de los años la teoría de cojuntos desarrolló temas y planteó problemas propios que no están direcatamente relacionados con el proyecto fundacional.

 OPERACIONES CON CONJUNTOS

Para realizar las operaciones con conjuntos se debe determinar la intersección, unión, diferencia, diferencia simétrica y complementes de conjunto, estos son ejemplos de operaciones que hay en los conjuntos. Para esto se debe realizar una operación y esto es una regla o procedimiento mediantes el cual uno o mas objetos son utilizados para obtener otro objeto. Los objetos que son involucrados en las operaciones normalmente son números o conjuntos.

UNION:

          Se utiliza cuando dos o más conjuntos se unen entre si, colocando enmedio los elementos iguales entre ambos conjuntos, para luego ashurarlo todo porque la union eso significa, que todos los conjuntos se uniran.



INTERSECCIÓN:

               Se utiliza cuando dos o más conjuntos se separan entre si dejando unicamente ashurado los elementos que tienen en comun, porque este dato es útil y es lo que se necesita cuando se desea operar la intersección.

DIFERENCIA:

               En esta operacion se notan diferencias distintas a las anteriores debido a que como se planteen, asi sera la respuesta, ya que la diferencia significa lo que tiene uno de diferente al primero, por lo tanto si se planteara A-B,  se ashuraria el conjunto B, y viceversa, por lo tanto se debe tener una buena interpretación.


DIFERENCIA SIMETRICA:

              Es muy parecida a la diferencia, solo con una característica que es que se ashuran lo que tienen de distinto los dos conjuntos, y se deja sin ashurar lo que tienen en común, esto más es para resaltar las diferencias de los dos, sin centrarse en uno específico, esto es útil en el momento de ver lo que tiene cada uno.


COMPLEMENTO:

              Representa los datos que no son tomados en cuenta durante la operacion de los conjuntos pero que si son importantes porque tienen que ver con el tema.





USO DE CONJUNTOS EN LA TOMA DE DECISIONES:

           Los conjuntos representados en el diagrama de Venn, aunque resulte difícil de creer, son la mejor herramienta cuando representan tendencias entre 2 o más aspectos, debido a que no solamente muestra información de uno o de otro, sino que también representa gustos de 2 o hasta 3 opciones a la vez, mostrando información clara y hasta puede detectar mentiras entre grupos de personas, usandolo junto con el complemento (visto en las operaciones entre conjuntos) se puede representar hasta las personas que no desean ninguna de las opciones.

A continuación se hará un ejemplo para demostrar como se grafica en Diagrama de Venn y qué podemos captar de dicha información:

Se encuestan a 22 alumnos sobre cuales sus cursos favoritos de idiomas y los resultados fueron:

1.      12 prefieren alemán.

2.      10 prefieren inglés. 

3.      9 prefieren francés.                                                                                                                      

4.      6 prefieren alemán e inglés.                                                                                                        

5.      5 prefieren alemán y francés.                                                                                            

6.      2 prefieren los 3 idiomas

Con los datos mencionados y operando el Diagrama de Venn responderemos las siguientes preguntas:

1.      ¿Cuantos prefieren solo inglés?                                                                                                 

2.      ¿Cuantos prefieren al menos 2 idiomas?                                                                                  

3.      ¿Cuantos no prefieren ninguno?                                                                                                

4.      ¿Cuantos prefieren solo 1 idioma?

 

PASO NO. 1

Formaremos nuestro universo, quien es la totalidad de personas que entrevistamos para tener una noción de cual es el resultado con el que nos tiene que cuadrar la sumatoria de todo. Ademas se dehe establecer los segmentos con círculos formando un conjunto de esta manera. (en U, pondremos la cantidad total de sujetos)

 

PASO NO. 2

Para que los resultados nos salgan con veracidad, debemos empezar a rellenar desde el centro, es decir donde se interactuan los 3 conjuntos, es decir, en nuestro ejemplo empezaríamos por una pregunta la cual seria, "¿QUIENES TOMAN AL MENOS 3?", o "¿QUIENES PREFIEREN LOS 3 IDIOMAS?, debido que este dato central tiene relación con todos los conjuntos, por lo tanto es el que debe iniciar todo. Según los datos proporcionados hay 2 que prefieren los 3 cursos. El gráfico quedaría así:

 

PASO NO. 3 

Continuamos con los datos que siguen, es decir, los conjuntos que interactuan entre 2, por lo tanto sabemos que 6 prefieren alemán e inglés, pero como en el gráfico tenemos que a 2 personas les gustan los 3 cursos, por lo tanto se efectuaría una resta y quedarían 4 entre alemán e inglés. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 4

Así mismo como hicimos en el paso 3, efectuaremos de la misma manera con el siguiente dato que son 5 que prefieren alemán y francés, y así como efectuamos la resta de 2 datos que tuvimos en el centro, en el espacio entre alemán y francés colocaríamos 3. En el espacio entre inglés y francés quedaría con un número 0, debido a que no habían estudiantes que prefirieran solamente esos dos cursos. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 5

Ahora proseguiremos con los datos que nos indican 1 solo conjunto a la vez, iniciaremos con los estudiantes de francés que tenemos como datos 9, pero de tal forma que en pasos anteriores, le restaremos los datos que se encuentren en su mismo circulo, es decir, le restaremos el central que son 2 datos, también le restaremos los 3 que están entre alemán y francés, y como entre inglés y francés no hay datos entonces no habrá que restarle (pero en caso contrario que hubiera datos habría que restarle), el total de francés logrando las restas sería 4. El gráfico sería así:

PASO NO. 6

Realizaremos el mismo procedimiento con los otros dos conjuntos que tenemos y tendremos como resultado en alemán 3, y en ingles 4. El gráfico nos quedaría así:

PASO NO. 7

Como paso final nos damos cuenta que la suma de los datos entre los conjuntos nos da 20 y se nos dice que 22 alumnos fueron entrevistados, por lo tanto se puede comprender que a 2 estudiantes no tiene simpatía por ninguno de los 3 cursos, por lo consiguiente procederemos a ponerlo afuera de los conjuntos que es nuestro conjunto complemento, el gráfico terminado quedaría así:

PASO NO. 8

Responderemos las preguntas que se nos plantearon:

¿Cuantos prefieren solo inglés?....                     4 alumnos.
¿Cuantos prefieren al menos 2 idiomas?...       9 alumnos.
¿Cuantos no prefieren ningún idioma?...         1 alumno.
¿Cuantos prefieren solo 1 idioma?...                 11 alumnos.

Si nos podemos dar cuenta al sumar cada circulo tendremos como resultado el total de cada idioma expresado al principio, es una prueba para verificar que el resultado es correcto.

Como podemos darnos cuenta, estos gráficos pueden darnos respuestas a las que gráficos comunes no podrían hacerlo a la vez.

Para mejorar el aprendizaje aquí dejo un ejercicio el cuál podrás revisar para asegurarte de que el contenido fue captado al 100% o si necesitas volver a revisar una parte débil.



Teoría de Conjuntos

CONCLUSIÓN

Los conjuntos son una excelente herramienta para deducir muchas cosas cuando hablamos de toma de decisiones es muy importante ya que nos permite identificar todos los datos y ver claramente las preferenciasde todo tipo de sujetos de quienes entrevistamos.

BIBLIOGRAFIA

Renato, L. (2010) LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA. Editorial J.C. Sáez. Chile.

Miller, C., Heeren, V. & Hornsby John. (2008) . ESTRATEGIAS DE RAZONAMIENTO. Editorial Pearson. México